Пусть сторона основания а, высота пирамиды Н, апофема А.
Надо найти функцию зависимости объёма пирамиды от Н при А - константа.
V = (1/3)a²H.
a = 2√(A² - H²). тогда V = (1/3)(2√(A² - H²))²H. Раскроем скобки.
V = (1/3)*4*(A^4 - 2A^2H^2 + H^4)*H =
= (4/3)A^4H - (8/3)A^2H^3 + (4/3)H^5.
Находим производную:
dV/dH = (4/3)A^4*1 - (8/3)A^2*3H^2 + (4/3)*5H^4 и приравняем 0.
Замена: H^2 = t и вставит заданное значение апофемы А = 2√3.
Получаем квадратное уравнение (20/3)t² - 96t + 192 = 0.
Упростим его, сократив на 4 и приведём к общему знаменателю.
5t² - 72t + 129 = 0. Д = 5184 - 2590 = 2604, √Д = 2√651.
t1 = (2√651/10) + 7,2 = (√651/5) + 7,2 ≈ 12,30294.
t2 = (-2√651/10) + 7,2 = (-√651/5) + 7,2 ≈ 2,09706.
Переходим к H = √t.
H1 = 3,507555, H2 = 1,448123.
Пусть сторона основания а, высота пирамиды Н, апофема А.
Надо найти функцию зависимости объёма пирамиды от Н при А - константа.
V = (1/3)a²H.
a = 2√(A² - H²). тогда V = (1/3)(2√(A² - H²))²H. Раскроем скобки.
V = (1/3)*4*(A^4 - 2A^2H^2 + H^4)*H =
= (4/3)A^4H - (8/3)A^2H^3 + (4/3)H^5.
Находим производную:
dV/dH = (4/3)A^4*1 - (8/3)A^2*3H^2 + (4/3)*5H^4 и приравняем 0.
Замена: H^2 = t и вставит заданное значение апофемы А = 2√3.
Получаем квадратное уравнение (20/3)t² - 96t + 192 = 0.
Упростим его, сократив на 4 и приведём к общему знаменателю.
5t² - 72t + 129 = 0. Д = 5184 - 2590 = 2604, √Д = 2√651.
t1 = (2√651/10) + 7,2 = (√651/5) + 7,2 ≈ 12,30294.
t2 = (-2√651/10) + 7,2 = (-√651/5) + 7,2 ≈ 2,09706.
Переходим к H = √t.
H1 = 3,507555, H2 = 1,448123.