Втреугольнике abc вписана окружность и еще 3 окружности радиусов r1,r2,r3 так что они попарно касаются сторон треугольника и данной окружности найти ее радиус

Ответ:

Кирилл6901

05.07.2020 12:22

Для начало обозначим вершины треугольника как A,B,C

.
Обозначим центр большей и меньших треугольников соответственно $O,O_{1};O_{2};O_{3}$ . так же радиусы $R;R_{1};R_{2};R_{3}$ .
Опустим три радиуса из вписанной окружности на все стороны , как известно радиус перпендикулярен касательной.
Обозначим проекций радиуса на сторону $AC- B_{1}\\
BC- A_{1}\\ 
 AB-C_{1}$ .
Из этого следует что отрезки
$AC_{1}=AB_{1}\\
BC_{1}=BA_{1}\\
CA_{1}=CB_{1}
$
Потому что отрезки касательных проведенные к окружности с одной точки равны .
Проведем биссектрисы из каждой вершины , они будут пересекаться в одной точке и это точка

.
Обозначим проекций маленьких окружностей на стороны J,T,N

.
Тогда очевидно мы получим трапецию у которой основания есть радиусы соответственных окружностей, всего трапеций 3.
То есть трапеций $OO_{1}JA_{1}\\
OO_{2}TA_{1}\\
OO_{3}NB_{1}$ .
Из каждой трапеций можно выразит по тереме Пифагора боковую сторону прямоугольной трапеций .
Они будут равны $\sqrt{(R_{1}+R)^2-(R-R_{1})^2}=2\sqrt{RR_{1}}\\
\sqrt{(R_{2}+R)^2-(R-R_{2})^2}=2\sqrt{RR_{2}}\\
\sqrt{(R_{3}+R)^2-(R-R_{3})^2}=2\sqrt{RR_{3}}\\$
Заметим так же что треугольники $CO_{1}J\\
BO_{2}T\\
AO_{3}N
$ будут подобны , большим прямоугольным треугольникам . Откуда из подобия получим
$\frac{CJ}{CJ+2\sqrt{RR_{1}}}=\frac{R_{1}}{R}\\
 CJR=R_{1}CJ+2R_{1}\sqrt{RR_{1}}\\
CJ=\frac{2R_{1}\sqrt{RR_{1}}}{R-R_{1}}$
И так все стороны. Достаточно найти эти три отрезка и просуммировать , так как отрезки касательных равны. В итоге получим
$BC=2\sqrt{RR_{1}}+\frac{2R_{1}\sqrt{RR_{1}}}{R-R_{1}}+2\sqrt{RR_{2}}+\frac{2R_{2}*\sqrt{RR_{2}}}{R-R_{2}}$
$AC=2\sqrt{RR_{1}}+\frac{2R_{1}\sqrt{RR_{1}}}{R-R_{1}} + 2\sqrt{RR_{3}}+\frac{2R_{3}\sqrt{RR_{3}}}{R-R_{3}}$
$AB=2\sqrt{RR_{2}}+\frac{2R_{2}\sqrt{RR_{2}}}{R-R_{2}} + 2\sqrt{RR_{3}}+\frac{2R_{3}\sqrt{RR_{3}}}{R-R_{3}}$
Теперь зная стороны , по формуле $S=pr\\r=\frac{S}{p}$
Я там все упростил и доделал , весьма сложные преобразований вышло но в итоге ответ такой вышел $R=\sqrt{R_{1}R_{2}}+\sqrt{R_{2}R_{3}}+\sqrt{R_{1}R_{3}}$