Высоты аа1 и вв1 треугольника авс пересекаются в точке н. точки м и n - середины отрезков ав и сн соответственно. а) докажите, что треугольники а1мв1 и а1nв1 равнобедренные. б) найдите площадь четырехугольника а1мв1n, если известно, что а1в1 =6 и mn=4.

А) A₁N и B₁N - медианы прямоугольных треугольников HA₁C и HB₁C с общей гипотенузой HC. Значит они равны половине AC и равны между собой. Аналогично, A₁M=B₁M как медианы прямоугольных тр-ков ABA₁ и BAB₁ с общей гипотенузой AB. т.е. а) доказано.
б) Т,к. треугольники MNA₁ и MNB₁ равны по трем сторонам, то MN - биссектриса равнобедренного тр-ка A₁MB₁ и значит MN⊥A₁B₁. Т.к. площадь любого четырехугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними, то S(A₁MB₁N)=6*4/2=12.