Дано: В прямоугольной трапеции MNKP, ∠M=90°,MPиNK−основания трапеции,MP=5,NK=3. Найти: MN∙⃗NK+⃗NK∙⃗KP+⃗KP∙⃗PM+⃗PM∙⃗MN .

Для начала, давай разберемся с обозначениями и их значениями в задаче:

- MP и NK — основания трапеции.
- MP = 5 и NK = 3.

Для решения этой задачи, нам необходимо использовать свойство векторного произведения или косое произведение векторов.

Векторное произведение векторов a и b равно вектору c, который обладает следующими характеристиками:
- вектор c перпендикулярен векторам a и b,
- модуль вектора c равен произведению модулей векторов a и b на синус угла между ними,
- вектор c направлен по правилу буравчика (правилу правой руки).

Исходя из этого, мы можем выразить каждое слагаемое в задаче с помощью векторного произведения:

1. MN∙⃗NK: Мы знаем, что NK - это одна из осей трапеции. Значит, вектор, параллельный ей, будет направлен вдоль оси Y. Поэтому, можно записать это как векторное произведение векторов MN и единичного вектора, направленного вдоль оси Y. Так как ∠MNK — прямой угол, а синус прямого угла равен 1, то это слагаемое равно модулю вектора MN умноженному на 1.
2. ⃗NK∙⃗KP: NK - вектор, параллельный оси Y. KP - вектор, параллельный оси X. Значит, векторное произведение будет равно 0, так как два вектора параллельны и синус угла между ними равен 0.
3. ⃗KP∙⃗PM: Так как KP - вектор, параллельный оси X, а PM - вектор, параллельный оси Y, то векторное произведение будет равно 0, так как два вектора параллельны и синус угла между ними равен 0.
4. ⃗PM∙⃗MN: PM - вектор, параллельный оси Y, а MN - вектор, параллельный оси X. Аналогично предыдущему слагаемому, это векторное произведение будет равно 0.

Итак, сумма всех слагаемых равна MN∙⃗NK+⃗NK∙⃗KP+⃗KP∙⃗PM+⃗PM∙⃗MN = MN∙1 + 0 + 0 + 0 = MN.

Таким образом, ответ на задачу MN∙⃗NK+⃗NK∙⃗KP+⃗KP∙⃗PM+⃗PM∙⃗MN равен MN.