10 класс С—4, 2—3
1. Даны прямые аиьи плоскость а.. Известно, что прямые аи
b скрещиваются, а || а.. Назовите все возможные случаи взаимного рас-
положения прямой ьи плоскости о..
2. Плоскость а и прямая а параллельны одной и той же пря-
мой b. Докажите, что a | a. либо аса. пож
- Если прямая а пересекает прямую b, то прямая b скрещивается с плоскостью о. В этом случае прямая b будет пересекать плоскость о в точке пересечения с прямой а.
- Если прямая а и прямая b параллельны, то прямая b будет параллельна плоскости о. Поскольку прямая b не пересекает прямую а, она не будет пересекать и плоскость о.
2. Для данного вопроса, нам нужно доказать, что если плоскость а и прямая а параллельны одной и той же прямой b, то прямые а и а либо параллельны, либо совпадают.
Доказательство:
Пусть прямая а и прямая а не параллельны и не совпадают.
Поскольку прямая а и прямая а параллельны прямой b, существует плоскость о, которая пересекает прямую а и прямую а, и параллельна прямой b.
Рассмотрим две точки на прямой а: A1 и A2, и лежащие в плоскости о.
Так как прямая а и прямая а не совпадают и не параллельны, то точки A1 и A2 лежат в различных полуплоскостях, образованных прямой b.
Заметим, что плоскость о должна пересекать обе полуплоскости, так как прямая а и прямая а пересекаются в ней.
Однако, это невозможно, так как плоскость о параллельна прямой b.
Таким образом, предположение о том, что прямая а и прямая а не параллельны и не совпадают было ошибочным.
Значит, прямые а и а либо параллельны, либо совпадают.