6. Дано четырехзначное число из различных ненулевых цифр. У него поменяли местами первую и последнюю цифры и прибавили получившееся число к исходному. Оказалось, что полученная сумма делится на 91. Докажите, что исходное число не делится на 91.

Объяснение:

Было число:

X = 1000a + 100b + 10c + d

У него поменяли первую и последнюю цифры, стало:

Y = 1000d + 100b + 10c + a

Потом эти два числа сложили, получилось:

X + Y = 1001a + 200b + 20c + 1001d

И оно делится на 91 = 7*13. Выделим числа, кратные 91, и найдем остаток.

Заметим, что 1001 = 7*11*13 = 91*11, поэтому 1001а и 1001d кратны 91.

X + Y = 91*11a + 91*11d + 91*2b + 18b + 20c

Остаток от деления на 91 равен 18b + 20c. И этот остаток тоже должен делиться на 91.

Так как b и с - однозначные цифры, то 18b + 20c ≤ 18*8+20*9 = 324.

К тому же, число 18b + 20c - четное, и может равняться только 91*2=182.

18b + 20c = 182

9b + 10c = 91.

b = 9; c = 1; 9b + 10c = 9*9 + 10*1 = 91

Это решение - единственное.

Значит, число имело вид:

X = 1000a + 910 + d

Нам надо доказать, что оно НЕ делится на 91.

Ясно, что 910 делится на 91.

Число X может делиться на 91, только если 1000a + d делится на 91.

А это возможно, только если это числа вида: 1001; 2002; ...; 9009.

Во всех случаях a = d, но это неправильно: по условию мы взяли число из 4 разных цифр.

Таким образом, мы доказали, что число

X = 1000a + 100b + 10c + d

Не может быть кратно 91, при заданных в задаче условиях.