Чим виступає слово спочивать? Я тут колись бродив між осокою і спочивать сідав на купин

"спочивать"  — це неозначена форма дієслова "спочивати" (суфікс -ть допускається у віршованій чи розмовній формах, а тут якраз вірш).

На перший погляд,  це складений дієслівний присудок (інфінітив+допоміжне дієслово). Але це не так.  

Щоб правильно визначити синтаксичну роль дієслова в неозначеній формі, треба визначити, чи не вказує інфінітив на мету дії, названу особовим дієсловом. Наприклад, пташки злетілися (для чого?) спати.

Тут така сама ситуація. Сідав (з якою метою?) спочивать. Тож інфінітив "спочивать" є обставиною, а не присудком.