1) Для n=1 1/1*3 = 1/(2+1) - условие выполняется.
2) Пусть условие выполняется для n первых членов ряда, тогда, Для (n+1)-го слагаемого имеем значение
1/(2(n+1)-1)(2(n+1)+1) = 1/(2n-1)(2n+3) = 1/(4n^2+2n-3)
Найдём сумму первых (n+1) членов ряда:
n/(2n+1) + 1/(2n-1)(2n+3) = (n(4n^2+2n-3) + 2n + 1)/(2n+1)(2n-1)(2n+3) = (4n^3+2n^2-n+1)/(8n^3+12n^2-2n-3) = (n+1)(4n^2-2n+1)/(2n+3)(4n^2-2n+1) = (n+1)/(2n+3) = (n+1)/(2(n+1)+1) - Второе условие тоже выполняется, значит утверждение верно
Пошаговое объяснение:
1) Для n=1 1/1*3 = 1/(2+1) - условие выполняется.
2) Пусть условие выполняется для n первых членов ряда, тогда, Для (n+1)-го слагаемого имеем значение
1/(2(n+1)-1)(2(n+1)+1) = 1/(2n-1)(2n+3) = 1/(4n^2+2n-3)
Найдём сумму первых (n+1) членов ряда:
n/(2n+1) + 1/(2n-1)(2n+3) = (n(4n^2+2n-3) + 2n + 1)/(2n+1)(2n-1)(2n+3) = (4n^3+2n^2-n+1)/(8n^3+12n^2-2n-3) = (n+1)(4n^2-2n+1)/(2n+3)(4n^2-2n+1) = (n+1)/(2n+3) = (n+1)/(2(n+1)+1) - Второе условие тоже выполняется, значит утверждение верно
Пошаговое объяснение: