Решить с метода индукции : 1*4+2*7+3*10++n(3n+1)=n(n+1)^2

База (n = 1):

1 * 4 = 1(1 + 1)² = 4.

Переход:

Пусть выражение верно для n = k, докажем, что оно верно и для k+1:

1 * 4 + 2 * 7 +...+k(3k + 1) + (k + 1)(3k + 4) = (k + 1)(k + 2)²

По предположению индукции 1 * 4 + 2 * 7 +...+k(3k + 1) = k(k+1)², значит:

k(k+1)² + (k + 1)(3k + 4) = (k + 1)(k + 2)²

k³ + 2k² + k + 3k² + 4k + 3k + 4 = (k + 1)(k² + 4k + 4)

k³ + 5k² + 8k + 4 = k³ + 5k² + 8k + 4

Значит, для n = k+1 выражение тоже верно. И так по индукции.