Найдите большую сторону треугольника, если медиана и высота, проведенные из одной вершины, делят угол при этой вершине на три равные части, а длина медианы равна 10.

Пусть треугольник АВС. Высота  ВК медиана ВМ. Т.к. углы АВК=углу КВМ , то ВК не только высота , но и биссектриса . Значит треугольник АВМ равнобедренный АВ=ВМ  КВ будет и медианой , значит АК=КМ. Но по условию ВМ медиана, значит АМ=МС  . Тогда МС=2 КМ. Рассмотрим треугольник КВС. В нём ВМ биссектриса по условию, т.к. по условию три угла равны  АВК=КВМ=МВС.
Биссектриса внутреннего угла делит противоположну сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам  ВК:ВС=КМ:МС= 1:2. Тогда ВС в 2 раза больше ВК. А в прямоугольном треугольнике с острым углом в 30 градусов гипотенуза в 2 раза больше катета, противолежащего этому углу. Тогда угол ВСА=30 градусов. Угол КВС =60 гр. Тогда угол АВС состоит из трёх равных углов и каждый по 30 градусов. Угол АВС=90градусов. Угол ВАС=60 градусов.

В треугольнике КВМ отрезок КМ лежит против угла в 30 градусов, значит, он равен половине ВМ, то есть 10/2 = 5.
АК = КМ = 5.
МС = АК + КМ = 5 + 5 = 10.
Получаем ответ: большая сторона треугольника равна 2*10 = 20.