Дан треугольник abc, в котором ав = 7, вс = 9, и проведена прямая bd, которая делит треугольник на две части, площади которых относятся как 7 : 9. докажите, что bd — биссектриса угла abc.

Проведем ВК перпенд АС. Тогда:

S(BAD) = AD*BK/2

S(BDC) = DC*BK/2

Тогда отношение площадей равно:

AD/DC = 7/9

Таким образом отрезок BD разделил сторону АС в отношении 7/9 = АВ/ВС

А это свойство биссектрисы внутреннего угла треугольника.

Значит BD - биссектриса.