Решить: в выпуклом четырехугольнике abcd длина отрезка, соединяющего середины диагоналей, равна длине отрезка, соединяющего середины сторон ad и bc. найти величину угла, образованного продолжением сторон ab и сd.
Пусть E- середина диагонали AC, F - середина диагонали BD, G - середина стороны AD, H - середина стороны BC. Рассмотрим четырехугольник FGEH. GE -средняя линия ΔCAD⇒ GE=(1/2)DC и GE║DC. Аналогично FH - средняя линия ΔCBD⇒ FH=(1/2)DC и FH║DC⇒GE=FH; GE║FH. Аналогично EH=GF=(1/2)AB; EH║GF║AB. Таким образом, GEHF - параллелограмм, GH и EF - его диагонали. По условию они равны⇒ GEHF - прямоугольник, GE⊥GF⇒DC⊥AB, что и требовалось.
Рассмотрим четырехугольник FGEH. GE -средняя линия ΔCAD⇒
GE=(1/2)DC и GE║DC. Аналогично FH - средняя линия ΔCBD⇒
FH=(1/2)DC и FH║DC⇒GE=FH; GE║FH.
Аналогично EH=GF=(1/2)AB; EH║GF║AB.
Таким образом, GEHF - параллелограмм, GH и EF - его диагонали. По условию они равны⇒ GEHF - прямоугольник, GE⊥GF⇒DC⊥AB, что и требовалось.