Найти две обыкновенные не равные дроби - одну со знаменателем 8, другую со знаменателем 13 , чтобы разность между большей и меньшей из них была как можно меньше?

Чтобы найти разницу, надо сначала привести дроби к общему знаменателю:
х/8 - y/13 = (13х-8y)/104.
13x-8y= (разница) минимально возможное ЦЕЛОЕ число, отличное от 0, причем х<8 и y<13 - целые.
Пусть это число (разница) равно 1. Найдется ли такие х и y, чтобы 13x-8y=1 ?
По таблице умножения имеем:
х и y  =>  1, 2,  3,  4,  5,  6,  7,  8,  9
для 8=>  8,16,24,32,40,48,56,64,72
для 13=>13,26,39,52,65,78,91,..
мы видим, что разница, равная 1, может быть ТОЛЬКО при х=5 (5*13=65) и y=8 (8*8=64): 13*5-8*8=65-64=1.
Тогда х=5, y=8 и искомые обыкновенные дроби равны 5/8 и 8/13.
Разница между ними равна (5/8)-(8/13)=1/104.
Это минимально возможная разница для обыкновенных дробей со знаменателями 8 и 13.
ответ: х=5/8, y=8/13.