1. Частные производные первого порядка. Пусть функция определена в области и . Тогда при малых определено ее частное приращение по : .
Определение. Частной производной функции по переменной в точке называют предел
,
если он существует.
Частную производную по обозначают одним из следующих символов:
.
Аналогично определяется частная производная по и вводятся ее обозначения.
Легко видеть, что частная производная – это производная функции одной переменной, когда значение другой переменной фиксировано. Поэтому частные производные вычисляются по тем же правилам, что и вычисление производных функций одной переменной.
Пример. Найти частные производные функции .
Имеем:
, . ^
2. Частные производные высших порядков. Рассматривая частные производные и как функции от , приходим к понятиям частных производных второго порядка. А именно, выражения
,
называют частными производными второго порядка функции по и по соответственно, а выражения
,
– смешанными частными производными второго порядка функции . Их обозначают также символами: , , и . Аналогично определяют частные производные 3-го порядка (их будет 8=23 ), 4-го порядка (их будет 16=24 ) и т.д.
Теорема 4. Если в некоторой окрестности точки функция имеет смешанные частные производные и , причем эти производные непрерывны в точке , то они равны в этой точке:
=.
Если последнее равенство выполняется, то говорят, что смешанные частные производные 2-го порядка функции не зависят от порядка дифференцирования в точке .
1. Частные производные первого порядка. Пусть функция определена в области и . Тогда при малых определено ее частное приращение по : .
Определение. Частной производной функции по переменной в точке называют предел
,
если он существует.
Частную производную по обозначают одним из следующих символов:
.
Аналогично определяется частная производная по и вводятся ее обозначения.
Легко видеть, что частная производная – это производная функции одной переменной, когда значение другой переменной фиксировано. Поэтому частные производные вычисляются по тем же правилам, что и вычисление производных функций одной переменной.
Пример. Найти частные производные функции .
Имеем:
, . ^
2. Частные производные высших порядков. Рассматривая частные производные и как функции от , приходим к понятиям частных производных второго порядка. А именно, выражения
,
называют частными производными второго порядка функции по и по соответственно, а выражения
,
– смешанными частными производными второго порядка функции . Их обозначают также символами: , , и . Аналогично определяют частные производные 3-го порядка (их будет 8=23 ), 4-го порядка (их будет 16=24 ) и т.д.
Теорема 4. Если в некоторой окрестности точки функция имеет смешанные частные производные и , причем эти производные непрерывны в точке , то они равны в этой точке:
=.
Если последнее равенство выполняется, то говорят, что смешанные частные производные 2-го порядка функции не зависят от порядка дифференцирования в точке .