Провести полное исследование функцииf(x) y=x^3-3x^2+3x-2 с производных, построить график функции, найти ещё наибольшее и наименьшее значения на отрезке [-2; 2]
Производная функции y=x^3-3x^2+3x-2 равна y' = 3x² - 6x +3. Приравняв нулю, найдём критические точки: 3x² - 6x +3 = 0 сократим на 3: x² - 2x +1 = 0. Квадратное уравнение, решаем относительно x: Ищем дискриминант:D=(-2)^2-4*1*1=4-4=0; Дискриминант равен 0, уравнение имеет 1 корень: x=-(-2/(2*1))=-(-1)=1. Определим статус этой точки. Для этого определим значения производной левее и правее полученной точки. х = 0 y' = 3 x = 2 y' = 3*2² - 6*2 + 3 = 12-12+3 = 3. Производная на этом отрезке положительна, значит, функция возрастающая. Найдём вторую производную: y'' = 6x - 6. В точке х = 1 y'' = 6*1 - 6 = 0 это точка перегиба функции. Детали в приложениях.
Приравняв нулю, найдём критические точки:
3x² - 6x +3 = 0 сократим на 3:
x² - 2x +1 = 0.
Квадратное уравнение, решаем относительно x:
Ищем дискриминант:D=(-2)^2-4*1*1=4-4=0;
Дискриминант равен 0, уравнение имеет 1 корень:
x=-(-2/(2*1))=-(-1)=1.
Определим статус этой точки. Для этого определим значения производной левее и правее полученной точки.
х = 0 y' = 3
x = 2 y' = 3*2² - 6*2 + 3 = 12-12+3 = 3.
Производная на этом отрезке положительна, значит, функция возрастающая.
Найдём вторую производную:
y'' = 6x - 6.
В точке х = 1 y'' = 6*1 - 6 = 0 это точка перегиба функции.
Детали в приложениях.