Для нахождения производной функции tg y = (4y - 5x) по переменной x будем использовать правило дифференцирования тригонометрической функции. Для этого нужно выразить y через x и затем продифференцировать полученное выражение.
1. Перепишем уравнение tg y = (4y - 5x) в виде: y = (1/4)tg y + (5/4)x.
2. Возьмем производную от обеих частей уравнения по переменной x. При дифференцировании правой части учтем, что tg y является функцией y, а x - независимой переменной. Получим:
dy/dx = d/dx [(1/4)tg y + (5/4)x].
3. Продифференцируем каждое слагаемое по отдельности, используя правила дифференцирования:
dy/dx = (1/4)d/dx(tg y) + (5/4)d/dx(x).
4. Чтобы продифференцировать первое слагаемое, воспользуемся цепным правилом дифференцирования. Для этого посчитаем производную (tg y) по y и умножим ее на производную y по x. Получим:
dy/dx = (1/4) * (1/cos^2 y) * dy/dx + 5/4.
5. Продифференцируем второе слагаемое, учтя, что x является независимой переменной. Получим:
dy/dx = (1/4) * (1/cos^2 y) * dy/dx + 5/4 + 5/4.
6. Выразим dy/dx, переместив первое слагаемое налево и сложив числители дробей:
dy/dx - (1/4) * (1/cos^2 y) * dy/dx = 10/4.
7. Вынесем общий множитель dy/dx за скобки:
(1 - (1/4) * (1/cos^2 y)) * dy/dx = 10/4.
8. Упростим дробь в скобках:
(3/4) * (1/cos^2 y) * dy/dx = 10/4.
9. Заметим, что (1/cos^2 y) = sec^2 y:
(3/4) * sec^2 y * dy/dx = 10/4.
10. Выразим dy/dx, разделив обе части на (3/4) и выполнив упрощение:
dy/dx = (10/4) / (3/4) / (sec^2 y).
11. Упростим дробь, разделив числитель и знаменатель на (4/4):
dy/dx = (10/3) / sec^2 y.
12. Используем то, что sec^2 y = 1/cos^2 y:
dy/dx = (10/3) / (1/cos^2 y).
13. Сократим дробь, перемножив числитель и знаменатель на cos^2 y:
dy/dx = (10/3) * cos^2 y.
Таким образом, производная функции tg y = (4y - 5x) по переменной x равна (10/3) * cos^2 y.
ответ: y'=-5(cos²y/(1-4cos²y))
Пошаговое объяснение:
берем производную от обеих частей, не забывая, что х - аргумент, а у -функция.
(1/сos²y)*y'=4*y' -5
(1/сos²y)*y'-4*y'= -5
y'=*((1/сos²y)-4)=-5
y'=-5(cos²y/(1-4cos²y))
1. Перепишем уравнение tg y = (4y - 5x) в виде: y = (1/4)tg y + (5/4)x.
2. Возьмем производную от обеих частей уравнения по переменной x. При дифференцировании правой части учтем, что tg y является функцией y, а x - независимой переменной. Получим:
dy/dx = d/dx [(1/4)tg y + (5/4)x].
3. Продифференцируем каждое слагаемое по отдельности, используя правила дифференцирования:
dy/dx = (1/4)d/dx(tg y) + (5/4)d/dx(x).
4. Чтобы продифференцировать первое слагаемое, воспользуемся цепным правилом дифференцирования. Для этого посчитаем производную (tg y) по y и умножим ее на производную y по x. Получим:
dy/dx = (1/4) * (1/cos^2 y) * dy/dx + 5/4.
5. Продифференцируем второе слагаемое, учтя, что x является независимой переменной. Получим:
dy/dx = (1/4) * (1/cos^2 y) * dy/dx + 5/4 + 5/4.
6. Выразим dy/dx, переместив первое слагаемое налево и сложив числители дробей:
dy/dx - (1/4) * (1/cos^2 y) * dy/dx = 10/4.
7. Вынесем общий множитель dy/dx за скобки:
(1 - (1/4) * (1/cos^2 y)) * dy/dx = 10/4.
8. Упростим дробь в скобках:
(3/4) * (1/cos^2 y) * dy/dx = 10/4.
9. Заметим, что (1/cos^2 y) = sec^2 y:
(3/4) * sec^2 y * dy/dx = 10/4.
10. Выразим dy/dx, разделив обе части на (3/4) и выполнив упрощение:
dy/dx = (10/4) / (3/4) / (sec^2 y).
11. Упростим дробь, разделив числитель и знаменатель на (4/4):
dy/dx = (10/3) / sec^2 y.
12. Используем то, что sec^2 y = 1/cos^2 y:
dy/dx = (10/3) / (1/cos^2 y).
13. Сократим дробь, перемножив числитель и знаменатель на cos^2 y:
dy/dx = (10/3) * cos^2 y.
Таким образом, производная функции tg y = (4y - 5x) по переменной x равна (10/3) * cos^2 y.