решить Настя и Алеша задумали по натуральному числу: Настя — однозначное, а Алеша — двузначное. Оказалось, что их сумма — двузначное число, записанное одинаковыми цифрами, а произведение — трехзначное число, записанное одинаковыми цифрами. Какие числа были задуманы?

Алеша задумал 74, Настя задумала 3.

Пошаговое объяснение:

Пусть сумма чисел равна 11n, а Настя задумала число k, при этом и n, и k — натуральные числа, не большие 9. Тогда Алеша задумал число (11n-k).

Тогда (11*n-k)*k=111*l, где l — натуральное число, тоже не большее 9.

111*l=3*37*l, при этом 37 — простое число, то есть k не может быть его делителем,

стало быть, (11*n — k) должно делиться на 37. Еще одно условие — произведение слева должно делиться на 3, но первый множитель не может делиться на 3, поэтому на 3 должно делиться k.

Мы получаем следующие варианты:

11*n — k =37 или 11*n — k=74.

В первом случае n=4, k=7,  но k делится на 3.

Во втором случае n=7, k=3 — ура, получилось!