На трёх разных координатных осях выбрали точки а, в и с. оказалось, что площади треугольников оав, оас и овс равны соответственно 10, 20 и 20. найдите площадь треугольника авс.

Эти треугольники ---прямоугольные, их площади можно вычислить по формуле
S = половине произведения катетов
S(OAB) = OA*OB/2 = 10 => OA*OB = 20
аналогично рассуждая, получим систему:
OA*OB = 20
OB*OC = 40
OC*OA = 40

OB = V20
OA = V20
OC = 2V20
из этих же прямоугольных треугольников по т.Пифагора можно найти стороны треугольника АВС ---это гипотенузы соответствующих треугольников...
AC^2 = OA^2 + OC^2 = 20+80 = 100
AC = 10
аналогично рассуждая, получим:
ВС = 10
АВ = 2V10
по формуле Герона S(ADC) = V((10+V10)*V10*V10*(10-V10)) = V(10*(100-10)) = 
V900 = 30