Вероятность удачного выполнения некоторого химического опыта составляет 0,7. Проводится серия из 3 опытов. Случайная величина Х – количество удачных опытов в этой серии. Установить закон распределения случайной величины Х, найти числовые характеристики.
Шаг 1: Определение закона распределения случайной величины Х.
У нас имеется серия из трех опытов, поэтому случайная величина X может принимать значения от 0 до 3.
Шаг 2: Вычисление вероятностей для каждого возможного значения X.
При проведении трех опытов вероятность удачного выполнения одного опыта составляет 0,7. Тогда вероятность неудачного выполнения одного опыта равна 1-0,7=0,3.
Вычислим вероятности для каждого значения X:
X=0: P(X=0) = (0,3)^3 = 0,027 (вероятность, что ни один опыт неудачный)
X=1: P(X=1) = 3 * (0,3)^2 * 0,7 = 0,189 (вероятность, что ровно один опыт удачный)
X=2: P(X=2) = 3 * (0,3) * (0,7)^2 = 0,441 (вероятность, что ровно два опыта удачные)
X=3: P(X=3) = (0,7)^3 = 0,343 (вероятность, что все три опыта удачные)
Шаг 3: Закон распределения случайной величины Х.
Теперь можем записать закон распределения для случайной величины X.
X | 0 | 1 | 2 | 3
P | 0,027 | 0,189 | 0,441 | 0,343
Это закон распределения случайной величины Х.
Шаг 4: Вычисление числовых характеристик.
a) Математическое ожидание (среднее значение) случайной величины X.
Математическое ожидание вычисляется как сумма произведений значений X на их вероятности.
E(X) = 0 * 0,027 + 1 * 0,189 + 2 * 0,441 + 3 * 0,343 = 0 + 0,189 + 0,882 + 1,029 = 2,1
б) Дисперсия случайной величины X.
Дисперсия вычисляется как сумма произведений отклонений значений X от математического ожидания в квадрате на их вероятности.
D(X) = (0-2,1)^2 * 0,027 + (1-2,1)^2 * 0,189 + (2-2,1)^2 * 0,441 + (3-2,1)^2 * 0,343 = 4,41 * 0,027 + 1,21 * 0,189 + 0,01 * 0,441 + 0,81 * 0,343 = 0,1187 + 0,2293 + 0,00441 + 0,27753 = 0,62944
Математическое ожидание случайной величины X равно 2,1, а дисперсия равна 0,62944.
Надеюсь, ответ понятен. Если у тебя есть какие-либо вопросы или нужно пояснение, пожалуйста, спрашивай.