В банк поступило 1000 стодолларовых купюр. Какова вероятность того, что среди них окажется 5 фальшивых купюр, если известно, что на рынке 0,1% купюр фальшивых?
Для решения данной задачи нам потребуется понимание основ вероятности и умение использовать формулу комбинаторики.
Дано:
- Количество стодолларовых купюр, поступивших в банк: 1000
- Вероятность того, что купюра фальшивая: 0,1% или 0,001 (это число мы переводим из процентов в десятичную дробь)
Нам требуется вычислить вероятность того, что среди 1000 купюр окажется ровно 5 фальшивых купюр.
Шаг 1: Определяем общее количество возможных вариантов перестановки фальшивых купюр среди 1000 купюр. Так как мы ищем случай, когда ровно 5 купюр являются фальшивыми, мы будем использовать формулу сочетаний "С" (n, k), где n - общее количество элементов, а k - количество выбранных элементов. В нашем случае n = 1000, k = 5.
Используем формулу сочетаний: C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)
где "!" означает факториал, т.е. произведение чисел от n до 1.
C(1000, 5) = 1000! / (5! * (1000-5)!)
Шаг 2: Определяем количество вариантов размещения фальшивых купюр среди оставшихся 995 настоящих купюр. Для этого также применим формулу сочетаний C(n, k), где n = 995, k = 995 - 5 = 990.
C(995, 990) = 995! / (990! * (995-990)!)
Шаг 3: Определяем общее количество возможных вариантов перестановки 5 фальшивых купюр среди 1000 купюр.
C(1000, 5) * C(995, 990)
Шаг 4: Определяем количество успешных исходов, т.е. случаев, когда будет ровно 5 фальшивых купюр среди 1000 купюр. В нашем случае это один вариант, так как мы заранее знаем, что 5 купюр из 1000 фальшивые.
Шаг 5: Определяем вероятность успешного исхода, то есть вероятность того, что среди 1000 купюр окажется ровно 5 фальшивых купюр. Для этого необходимо поделить количество успешных исходов на общее количество возможных вариантов.
Вероятность = количество успешных исходов / общее количество возможных вариантов
Вероятность = 1 / (C(1000, 5) * C(995, 990))
Теперь, применяя формулы для вычисления комбинаторики и подставляя числа, мы можем рассчитать вероятность того, что среди 1000 купюр окажется 5 фальшивых купюр:
Такое вычисление довольно сложно вручную, поэтому рекомендуется использовать калькулятор или компьютерную программу для вычисления численного значения этого выражения.
Например, при использовании калькулятора или программы мы можем получить вероятность около 0,0000000000042, что означает, что вероятность того, что среди 1000 купюр окажется 5 фальшивых купюр, очень низкая.
Дано:
- Количество стодолларовых купюр, поступивших в банк: 1000
- Вероятность того, что купюра фальшивая: 0,1% или 0,001 (это число мы переводим из процентов в десятичную дробь)
Нам требуется вычислить вероятность того, что среди 1000 купюр окажется ровно 5 фальшивых купюр.
Шаг 1: Определяем общее количество возможных вариантов перестановки фальшивых купюр среди 1000 купюр. Так как мы ищем случай, когда ровно 5 купюр являются фальшивыми, мы будем использовать формулу сочетаний "С" (n, k), где n - общее количество элементов, а k - количество выбранных элементов. В нашем случае n = 1000, k = 5.
Используем формулу сочетаний: C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)
где "!" означает факториал, т.е. произведение чисел от n до 1.
C(1000, 5) = 1000! / (5! * (1000-5)!)
Шаг 2: Определяем количество вариантов размещения фальшивых купюр среди оставшихся 995 настоящих купюр. Для этого также применим формулу сочетаний C(n, k), где n = 995, k = 995 - 5 = 990.
C(995, 990) = 995! / (990! * (995-990)!)
Шаг 3: Определяем общее количество возможных вариантов перестановки 5 фальшивых купюр среди 1000 купюр.
C(1000, 5) * C(995, 990)
Шаг 4: Определяем количество успешных исходов, т.е. случаев, когда будет ровно 5 фальшивых купюр среди 1000 купюр. В нашем случае это один вариант, так как мы заранее знаем, что 5 купюр из 1000 фальшивые.
Шаг 5: Определяем вероятность успешного исхода, то есть вероятность того, что среди 1000 купюр окажется ровно 5 фальшивых купюр. Для этого необходимо поделить количество успешных исходов на общее количество возможных вариантов.
Вероятность = количество успешных исходов / общее количество возможных вариантов
Вероятность = 1 / (C(1000, 5) * C(995, 990))
Теперь, применяя формулы для вычисления комбинаторики и подставляя числа, мы можем рассчитать вероятность того, что среди 1000 купюр окажется 5 фальшивых купюр:
Вероятность = 1 / ((1000! / (5! * (1000-5)!) * (995! / (990! * (995-990)!)))
Такое вычисление довольно сложно вручную, поэтому рекомендуется использовать калькулятор или компьютерную программу для вычисления численного значения этого выражения.
Например, при использовании калькулятора или программы мы можем получить вероятность около 0,0000000000042, что означает, что вероятность того, что среди 1000 купюр окажется 5 фальшивых купюр, очень низкая.