Найти экстремумы функции двух переменных z(x; y)

z = x^2 y - 2xy - 3x^2 - y^2 + 6x - 9y

Пошаговое объяснение:

z = x²y - 2xy - 3x² - y² + 6x - 9y

теперь решаем систему

из второго уравнения выражаем у и подставляем в первое уравнение

у = х²/2 - х - 9/2

2x(х²/2 - х - 9/2) -6x -2(х²/2 - х - 9/2) +6 =0

x³ -3x² -13x +15 =0 ⇒x₁= -3; y₁=3;   x₂=1; y₂= -5;     x₃=5; y₃=3

мы получили три критические точки

M₁(1;-5), M₂(-3;3), M₃(5;3)

но пока не знаем, кто из них минимум, кто максимум

поэтому ищем частные производные второго порядка

теперь будем считать значение вторых производных в кажной точке

M₁(1;-5)

AC - B² = 32 > 0 и A < 0 , то в точке M₁(1;-5)  максимум z(1;-5) = 28

M₂(-3;3)

AC - B² = -64 < 0, то в точке M₂(-3;3) глобального экстремума нет.

M₃(5;3)

AC - B² = -64 < 0, то точке M₂(5;3) глобального экстремума нет.

ответ

функция имеет один экстремум

в точке M₁(1;-5) и это  максимум z(1;-5) = 28;