1) Разделив числитель и знаменатель на x⁴, получим выражение (2-3/x+5/x⁴)/(3-5/x²+1/x⁴). Так как при x⇒∞ выражения 3/x, 5/x⁴, 5/x² и 1/x⁴ стремятся к нулю, то искомый предел равен 2/3.
2) Так как x²-1=(x+1)*(x-1), а x²-3*x+2=(x-1)*(x-2), то числитель и знаменатель можно сократить на x-1. После этого получаем выражение (x+1)/(x-2), предел которого при x⇒1 равен (1+1)/(1-2)=-2.
3) Так как x³+4*x²=x²*(x+4), а x²+x-12=(x+4)*(x-3), то числитель и знаменатель можно сократить на x+4. После этого получаем выражение x²/(x-3), предел которого при x⇒-4 равен (-4)²/(-4-3)=-16/7.
4) 2*x²+3*x³+4*x⁴=x²*(4*x²+3*x+2), 3*x²+x⁴+x⁶=x²*(x⁴+x²+3). Разделив числитель и знаменатель на x², получаем выражение (4*x²+3*x+2)/(x⁴+x²+3), предел которого при x⇒0 равен 2/3.
5) Умножив числитель и знаменатель на выражение [2+√(x-3)], получим в числителе выражение 7-x=-(x-7), а в знаменателе - выражение (x²-49)*[2+√(x-3)]=(x+7)*(x-7)*[2+√(x-3)]. Сократив числитель и знаменатель на x-7, получаем выражение -1/{(x+7)*[2+√(x-3)]}. Его предел при x⇒7 равен -1/[14*(2+2)]=-1/56.
Пошаговое объяснение:
1) Разделив числитель и знаменатель на x⁴, получим выражение (2-3/x+5/x⁴)/(3-5/x²+1/x⁴). Так как при x⇒∞ выражения 3/x, 5/x⁴, 5/x² и 1/x⁴ стремятся к нулю, то искомый предел равен 2/3.
2) Так как x²-1=(x+1)*(x-1), а x²-3*x+2=(x-1)*(x-2), то числитель и знаменатель можно сократить на x-1. После этого получаем выражение (x+1)/(x-2), предел которого при x⇒1 равен (1+1)/(1-2)=-2.
3) Так как x³+4*x²=x²*(x+4), а x²+x-12=(x+4)*(x-3), то числитель и знаменатель можно сократить на x+4. После этого получаем выражение x²/(x-3), предел которого при x⇒-4 равен (-4)²/(-4-3)=-16/7.
4) 2*x²+3*x³+4*x⁴=x²*(4*x²+3*x+2), 3*x²+x⁴+x⁶=x²*(x⁴+x²+3). Разделив числитель и знаменатель на x², получаем выражение (4*x²+3*x+2)/(x⁴+x²+3), предел которого при x⇒0 равен 2/3.
5) Умножив числитель и знаменатель на выражение [2+√(x-3)], получим в числителе выражение 7-x=-(x-7), а в знаменателе - выражение (x²-49)*[2+√(x-3)]=(x+7)*(x-7)*[2+√(x-3)]. Сократив числитель и знаменатель на x-7, получаем выражение -1/{(x+7)*[2+√(x-3)]}. Его предел при x⇒7 равен -1/[14*(2+2)]=-1/56.