Решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами содержит тригонометрические функции, если:
А) Корни характеристического уравнения – комплексные
Б) Корни характеристического уравнения - действительные и различные
В) Корни характеристического уравнения - вещественные и равные
Линейное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид:
ay'' + by' + cy = 0,
где y'' - вторая производная функции y по независимой переменной, y' - первая производная функции y по независимой переменной, а a, b и c - коэффициенты уравнения.
Когда уравнение называется однородным, это значит, что его правая часть равна нулю.
Теперь перейдем к решению такого уравнения.
1. Сначала нам нужно найти характеристическое уравнение. Для этого мы заменяем y на e^(mx), где m - неизвестная константа.
Подставляем такую функцию в уравнение и получаем:
a(m^2e^(mx)) + b(me^(mx)) + ce^(mx) = 0.
2. Упрощаем уравнение, деля обе части на e^(mx):
am^2 + bm + c = 0.
3. Получаем квадратное уравнение относительно m:
am^2 + bm + c = 0.
4. Теперь находим корни этого уравнения, то есть значения m, которые удовлетворяют уравнению. Если корни комплексные числа, это значит, что уравнение будет содержать тригонометрические функции.
5. Если корни действительные и различные, то уравнение будет содержать экспоненциальные функции, а не тригонометрические.
6. Если корни действительные и равные, то уравнение будет содержать экспоненциальные функции, но с некоторыми изменениями в решении.
Таким образом, ответ на вопрос: "Решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами содержит тригонометрические функции, если корни характеристического уравнения – комплексные (вариант А)". Варианты Б и В соответствуют решениям с экспоненциальными функциями.