в группе из 16 депутатов 12 поддерживают некоторую правительственную программу. из этой группы наудачу отбирают троих человек. составить закон распределения числа депутатов в выборке, поддерживающих программу. найти числовые характеристики распределения
Итак, у нас есть группа из 16 депутатов, и 12 из них поддерживают некоторую правительственную программу. Мы выбираем наудачу трех депутатов из этой группы. Наша задача - составить закон распределения числа депутатов в выборке, которые поддерживают программу, а также найти числовые характеристики этого распределения.
Для начала давайте определим все возможные комбинации выборки из трех человек из множества из 12 поддерживающих депутатов. Для этого воспользуемся комбинаторным принципом.
Количество различных комбинаций можно рассчитать с помощью формулы Биномиального коэффициента. Формула для C(n, k), которая означает количество комбинаций выбрать k элементов из n элементов, выглядит следующим образом:
C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)
В нашем случае, у нас есть 12 поддерживающих депутатов, и мы выбираем троих. Подставим эти значения в формулу и посчитаем:
C(12, 3) = 12! / (3! * (12-3)!) = 12! / (3! * 9!)
12! (факториал 12) означает перемножение всех чисел от 12 до 1:
12! = 12 * 11 * 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1
3! (факториал 3) означает перемножение всех чисел от 3 до 1:
3! = 3 * 2 * 1
9! (факториал 9) означает перемножение всех чисел от 9 до 1:
9! = 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1
Подставим эти значения в формулу:
C(12, 3) = (12 * 11 * 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1) / [(3 * 2 * 1) * (9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1)]
Теперь посчитаем это выражение:
C(12, 3) = (12 * 11 * 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1) / [(3 * 2 * 1) * (9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1)]
= (12 * 11 * 10) / (3 * 2 * 1)
= 220
Таким образом, у нас есть 220 различных комбинаций выбрать трех депутатов из группы из 12 поддерживающих депутатов.
Теперь нам нужно построить закон распределения числа депутатов, поддерживающих программу, в выборке.
Давайте составим таблицу, где мы будем отображать количество депутатов, поддерживающих программу, в выборке, и количество комбинаций с таким количеством:
Количество поддерживающих депутатов | Количество комбинаций
0 | ?
1 | ?
2 | ?
3 | ?
Для каждого возможного числа депутатов, поддерживающих программу, в выборке, мы должны посчитать количество комбинаций с таким количеством. Это можно сделать, используя ту же формулу Биномиального коэффициента, но с разными параметрами.
Для примера, посчитаем количество комбинаций, в которых выбрано 0 депутатов, поддерживающих программу. У нас остается 4 депутата, не поддерживающих программу, и мы должны выбрать 3 из них:
C(4, 3) = 4! / (3! * (4-3)!) = 4! / (3! * 1!)
Посчитаем это выражение:
C(4, 3) = (4 * 3 * 2 * 1) / (3 * 2 * 1 * 1)
= 4
Таким образом, есть 4 комбинации, в которых выбран 0 депутатов, поддерживающих программу.
Аналогично, мы можем посчитать количество комбинаций для 1, 2 и 3 депутатов, поддерживающих программу, в выборке:
- Количество комбинаций для 1 депутата: C(12, 1) * C(4, 2) = (12 * 1) * (4 * 3) = 12 * 4 * 3 = 144
- Количество комбинаций для 2 депутатов: C(12, 2) * C(4, 1) = [(12 * 11) / (2 * 1)] * 4 = 66 * 4 = 264
- Количество комбинаций для 3 депутатов: C(12, 3) * C(4, 0) = (220 * 1) = 220
Теперь, когда мы посчитали количество комбинаций для каждого возможного количества депутатов, поддерживающих программу, мы можем заполнить таблицу:
Количество поддерживающих депутатов | Количество комбинаций
0 | 4
1 | 144
2 | 264
3 | 220
Таким образом, эта таблица представляет закон распределения числа депутатов, поддерживающих программу, в выборке. Мы видим, что количество комбинаций для каждого возможного значения различно.
Теперь, чтобы найти числовые характеристики этого распределения, мы можем рассчитать среднее значение (математическое ожидание) и дисперсию.
Среднее значение (математическое ожидание) можно рассчитать, умножив количество депутатов, поддерживающих программу, в выборке, на вероятность такой выборки. Вероятность выборки можно рассчитать, разделив количество комбинаций с соответствующим количеством депутатов на общее количество комбинаций.
Рассчитаем среднее значение:
Среднее значение = 0 * (4 / 220) + 1 * (144 / 220) + 2 * (264 / 220) + 3 * (220 / 220)
= 0 * 0.01818 + 1 * 0.65455 + 2 * 1.2 + 3 * 1
= 0 + 0.65455 + 2.4 + 3
= 6.0545
Таким образом, среднее значение (математическое ожидание) в данном случае составляет 6.0545.
Дисперсия можно рассчитать, умно
живая квадрат разности каждого значения от среднего значения на вероятность этого значения, а затем сложив все результаты.
Рассчитаем дисперсию:
Дисперсия = [ (0 - 6.0545)^2 * (4 / 220) ] + [ (1 - 6.0545)^2 * (144 / 220) ]
+ [ (2 - 6.0545)^2 * (264 / 220) ] + [ (3 - 6.0545)^2 * (220 / 220) ]
= [ (-6.0545)^2 * 0.01818 ] + [ (-5.0545)^2 * 0.65455 ]
+ [ (-4.0545)^2 * 1.2 ] + [ (-3.0545)^2 * 1 ]
= [ 36.6603 * 0.01818 ] + [ 25.5623 * 0.65455 ]
+ [ 16.4390 * 1.2 ] + [ 9.3329 * 1 ]
= 0.6667 + 16.7296 + 19.7268 + 9.3329
= 46.456
Таким образом, дисперсия в данном случае составляет 46.456.
Вот и все! Теперь у нас есть закон распределения числа депутатов, поддерживающих программу, в выборке, а также числовые характеристики этого распределения, среднее значение (математическое ожидание) и дисперсия.