Умистера фокса есть 2041 монета. за одно взвешивание он может узнать суммарный вес любых двух монет. за какое наименьшее число взвешиваний мистер фокс может узнать суммарный вес всех монет?
Каждая монета должна побывать на весах хотя бы раз - чтобы мы хоть что-то узнали о её весе. Всего монет 2041, за раз можно положить на весы только две монеты, так что взвешиваний не меньше 1021.
1021 взвешивание означало бы, что все монеты, кроме одной, побывали на весах один раз, и одна - дважды. Покажем, что так получить суммарный вес не получится.
Пусть взвешивались монеты с номерами 1 и 2, 3 и 4, 5 и 6, ..., 2039 и 2040, последнее взвешивание 2039 и 2041. Увеличим массы всех монет с четными номерами и монеты 2041 на x, с нечетными номерами кроме 2041 уменьшим на x. Все показания весов останутся прежними, хотя суммарный вес изменился на x.
Вот как обойтись 1022 взвешиваниями:
- взвешиваем пары 1 и 2, 3 и 4, ..., 2037 и 2038 (1019 взвешиваний). Складываем показания и получаем суммарный вес всех монет от 1 до 2038.
- взвешиваем пары 2039 и 2040, 2040 и 2041, 2039 и 2041. Складываем результаты, в сумме вес каждый монеты был учтён дважды, так что получим удвоенный вес монет 2039, 2040 и 2041. Делим на 2, прибавляем к весу монет 1 - 2038 и получаем суммарный вес всех монет.
1022
Пошаговое объяснение:
Каждая монета должна побывать на весах хотя бы раз - чтобы мы хоть что-то узнали о её весе. Всего монет 2041, за раз можно положить на весы только две монеты, так что взвешиваний не меньше 1021.
1021 взвешивание означало бы, что все монеты, кроме одной, побывали на весах один раз, и одна - дважды. Покажем, что так получить суммарный вес не получится.
Пусть взвешивались монеты с номерами 1 и 2, 3 и 4, 5 и 6, ..., 2039 и 2040, последнее взвешивание 2039 и 2041. Увеличим массы всех монет с четными номерами и монеты 2041 на x, с нечетными номерами кроме 2041 уменьшим на x. Все показания весов останутся прежними, хотя суммарный вес изменился на x.
Вот как обойтись 1022 взвешиваниями:
- взвешиваем пары 1 и 2, 3 и 4, ..., 2037 и 2038 (1019 взвешиваний). Складываем показания и получаем суммарный вес всех монет от 1 до 2038.
- взвешиваем пары 2039 и 2040, 2040 и 2041, 2039 и 2041. Складываем результаты, в сумме вес каждый монеты был учтён дважды, так что получим удвоенный вес монет 2039, 2040 и 2041. Делим на 2, прибавляем к весу монет 1 - 2038 и получаем суммарный вес всех монет.