Как узнать имеет ли система линейных уравнений решения?
не ища определителя системы, а просто посмотрев на систему

В общем случае, конечно, надо искать определитель. В частных случаях бывает несложно увидель, что какая-либо строка или столбец являются линейной комбинацией других. Проще всего, если две строки или два столбца отличаются множителем. Важно, что и правая часть не  подчиняется такому же преобразованию иначе решений может быть бесконечно много.

Например   х+у=1

                     5х+5у=5  

система вырождена, но решений бесконечно много.

                         х+у=1

                     5х+5у=6

решений нет.