Исполнитель чертёжник перемещается на координатной плоскости, оставляя след в виде линии. чертёжник может выполнять команду сместиться на (a, b) (где a, b – целые числа), перемещающую чертёжника из точки с координатами (x, y) в точку с координатами (x + a, y + b). чертёжнику был дан для исполнения следующий алгоритм: сместиться на (52,-7) повтори n раз сместиться на (15, 22) сместиться на (a, b) конец сместиться на (–17, –35) определите минимальное натуральное значение n > 1, для которого найдутся такие значения чисел a и b, что после выполнения программы чертёжник возвратится в исходную точку?

Если я правильно поняла смысл задачи, то нужно найти такое минимальное натуральное n, при котором указанные значения a и b были бы целыми числами. Тогда могу предложить такой вариант решения:

Составим для х и у уравнения пути чертежника, при котором он возвращается в исходную точку (система уравнений):
1) для х: 52+n*(15+a)-17=0,
2) для y: -7+n*(22+b)-35=0.

Выразим в обоих уравнениях a и b через n :
1) a=-35/n-15
2) b=42/n-22

Теперь, чтобы a и b оказались целыми числами, мы должны найти число, на которое 35 и 42 делятся без остатка, то есть НОД.
Итак, n = НОД(35 и 42) = 7.
=>

1) a = -35/7-15 = -20
2) b = 42/7-22 = -16

ответ: n=7