Определите сторону ромба, если окружность, проведенная через вершины обоих его тупых углов и одного из острых углов, делит большую диагональ на части 1,4 и 5.

Ромб ABCD,  окружность проходит через точки  A, B, C

AK = 5 см;  КС = 1, 4 см   ⇒      АС = АК + КС = 5 + 1,4 = 6,4 см

У ромба диагонали перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам :   AC⊥BD;  AO=OC = AC/2 = 6,4 /2 = 3,2 см;  BO=OD.

AK⊥BD  и делит хорду  BD  пополам   ⇒  AK - диаметр окружности.

ΔABK - прямоугольный, так как сторона AK является диаметром описанной окружности.

Высота треугольника, проведенная из прямого угла на гипотенузу, есть среднее геометрическое проекций катетов на гипотенузу :

BO² = AO·OK = AO·(AK-AO) = 3,2·(5-3,2) = 3,2·1,8 = 5,76 = 2,4²

BO = 2,4 см

ΔAOB образован диагоналями, прямоугольный. Теорема Пифагора

AB² = AO² + BO² = 3,2²+2,4² = 10,24+5,76= 16 = 4²

AB = 4 см

ответ: сторона ромба равна 4 см