Воснове пирамиды лежит прямоугольный треугольник с углом бетта и радиусом вписанного круга r. найти объём пирамиды, если её боковые ребра наклонены к плоскости основы под углом альфа.

А - катет основания, противолежащий с β
b - катет основания, прилежащий к β
с - гипотенуза
a = c*sin(β)
b = c*cos(β)
Площадь основания через катеты
S = 1/2*a*b = 1/2*c*sin(β)*c*cos(β) = c²/4*sin(2β)
Площадь основания через полупериметр и радиус вписанной окружности
S = 1/2*(a+b+c)*r = 1/2(c*sin(β) + c*cos(β) + c)*r = c/2(sin(β) + cos(β) + 1)*r
c²/4*sin(2β) = c/2(sin(β) + cos(β) + 1)*r
c*sin(2β) = 2(sin(β) + cos(β) + 1)*r
c = 2(sin(β) + cos(β) + 1)*r/sin(2β)
S = c²/4*sin(2β) = (sin(β) + cos(β) + 1)²*r²/sin(2β)
Высота пирамиды
h/r = tg(α)
h = r*tg(α)
Объём пирамиды
V = 1/3*S*h = 1/3*(sin(β) + cos(β) + 1)²*r³*tg(α)/sin(2β)