Впрямоугольнике тоска касание вписанной окружности делит гипотенузу на отрезкт 7 см и 10 см. найдите периметр треугольника если радиум окружности равен 4 см

Дано: ∆ ABC, ∠C=90º,

окружность (O, r) — вписанная,

K, M, F — точки касания со сторонами AC, AB, BC,

BM=4 см, AM=6 см.

Найти:

\[{P_{\Delta ABC,}}{S_{\Delta ABC}},r.\]

Решение:

1) По свойству отрезков касательных, проведенных из одной точки,

окружность, вписанная к прямоугольный треугольникAK=AM=6 см,

BF=BM=4 см,

CK=CF=x см.

2) AB=AM+BM=6+4=10 см,

AC=AK+CK=(6+x) см,

BC=BF+CF=(4+x) см.

3) По теореме Пифагора:

\[A{C^2} + B{C^2} = A{B^2}\]

\[{(6 + x)^2} + {(4 + x)^2} = {10^2}\]

\[36 + 12x + {x^2} + 16 + 8x + {x^2} = 100\]

\[2{x^2} + 20x - 48 = 0\]

\[{x^2} + 10x - 24 = 0\]

По теореме Виета,

\[{x_1} = 2,{x_2} = - 12.\]

Второй корень не подходит по смыслу задачи. Значит, CK+CF=2 см, AC=8 см, BC=6 см.

4)

\[{P_{\Delta ABC}} = AB + AC + BC,\]

\[{P_{\Delta ABC}} = 10 + 8 + 6 = 24(cm),\]

\[{S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AC \cdot BC,\]

\[{S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 6 = 24(c{m^2}),\]

\[r = \frac{{AC + BC - AB}}{2},\]

\[r = \frac{{8 + 6 - 10}}{2} = 2(cm).\]

ответ: 24 см, 24 см², 2 с