Всегда ли диагональ четырехугольника является биссектрисой?

НЕт. Т.к. на многих произвольных четырехугольниках они не являются биссектрисами!

ответ: нет.
Четырёхугольник - это не обязательно квадрат или ромб.
Это может быть прямоугольник. Это также может быть произвольный четырёхугольник с разными углами.
А что такое биссектриса? Как нам говорили, это крыса, которая делит угол пополам :)
Ну а математическим языком, биссектриса - это луч, который выходит из вершины угла и делит угол на два равных угла.