Из данной точки к плоскости проведены перпендикуляр и две наклонные, проекции которых равны 4 см и 11 см.. найдите длину перпендикуляра, если наклонные относятся как 2: 5

МО - перпендикуляр к плоскости α.
МО - искомая величина.

МА и МВ - наклонные, тогда ОА = 4 см и ОВ = 11 см - их проекции на плоскость α.

Пусть х - коэффициент пропорциональности.
Большая наклонная имеет большую проекцию, поэтому
МА = 2х, МВ = 5х.

Из прямоугольных треугольников МОА и МОВ по теореме Пифагора выразим МО:
МО² = МА² - АО² = 4x² - 16
MO² = MB² - BO² = 25x² - 121

Приравняем правые части равенств:
4x² - 16 = 25x² - 121
21x² = 105
x² = 5
x = √5              (x = - √5 - не подходит по смыслу задачи)

МО = √(4x² - 16) = √(4·5 - 16) = √4 = 2 см