Дан отрезок ав. постройте окружность радиуса ав такую, чтобы точки а и в лежали на окружности. постройте хорду ас, перпендикулярную к хорде ав. заранее !

Получается равносторонний треугольник со стороной АB.
Одна вершина треугольника лежит в центре окружности, остальные две лежат на окружности. Хорда из точки А строится элементарно по определению хорды. Задача решается при циркуля и угольника.

Строим так. Берем циркулем величину АВ. Рисуем окружность. Иголка циркуля стоит в центре О, грифель на некоторой точке окружности, которую теперь будем считать точкой А.
Вынимаем иголку из центра (аккуратно, чтобы не сбросить взятую величину), ставим ее в точку А. Поворачиваем циркуль до пересечения грифеля с окружностью. Это будет точка В. Соединяем центр и точки А, В, получаем равносторонний треугольник.
Хорда из точки А строится при угольника.

Если положение отрезка фиксировано в пространстве, то см. ответ ниже.
Центр окружности будет лежать на серединном перпендикуляре.