Востроугольном треугольнике авс проведены высоты см и an. известно, что ac=2, а площадь круга, описанного около треугольника mbn, равна . найдите угол между высотой cm и стороной вс
Пусть Д — точка пересечения высот СМ и АN ΔABC. Из точек М и N отрезок BД виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром BД (это и есть окружность, описанная около ΔМВN с радиусом R). Площадь окружности S=πR², откуда R²=S/π=π/3π=1/3 R=1/√3. Отрезок AС виден из точек М и N под прямым углом, значит точки М и N лежат на окружности с диаметром AС. По условию <AВС острый, т.е. меньше 90°. Тогда <AСВ =<AСN = 180°-<AMN =<BMN. Значит ΔCBА и ΔMBN подобны по 2 углам, тогда МВ/СВ=ВN/ВА=МN/АС. Из прямоугольного ΔВАN найдем ВN/ВА=cos B. МN/АС=cos B MN=2cos B. Также по теореме синусов MN=2R*sin B=2sin B/√3 Приравниваем 2cos B=2sin B/√3 sin B/cos B=√3 tg B=√3 <B=60° Значит <ВСМ=180-90-60=30° ответ: 30°
Площадь окружности S=πR², откуда R²=S/π=π/3π=1/3
R=1/√3.
Отрезок AС виден из точек М и N под прямым углом, значит точки М и N лежат на окружности с диаметром AС. По условию <AВС острый, т.е. меньше 90°.
Тогда <AСВ =<AСN = 180°-<AMN =<BMN.
Значит ΔCBА и ΔMBN подобны по 2 углам, тогда МВ/СВ=ВN/ВА=МN/АС.
Из прямоугольного ΔВАN найдем ВN/ВА=cos B.
МN/АС=cos B
MN=2cos B.
Также по теореме синусов MN=2R*sin B=2sin B/√3
Приравниваем 2cos B=2sin B/√3
sin B/cos B=√3
tg B=√3
<B=60°
Значит <ВСМ=180-90-60=30°
ответ: 30°