Пусть o — центр вписанной окружности треугольника abc, т.е. точка пересечения биссектрис треугольника abc. на прямой bc отметим точки a1 и a2, на прямой ac — точки b1 и b2, а на прямой ab — точки c1 и c2 так, что oa1=oa2=oa,ob1=ob2=ob,oc1=oc2=oc. известно, что ab=5, bc=7, ca=8. найдите a1a2+b1b2+c1c2.

Пусть наша вписанная окружность касается сторон AB, BC, AC в точках  M, P, Q соответственно. Тогда треугольники AOM и A1OP равны по гипотенузе и катету. Значит A1A2=2A1P=2AM. Аналогично B1B2=2BP и С1С2=2CQ. Значит A1A2+B1B2+C1C2=2AM+2BP+2CQ=AB+BC+AC=5+7+8=20 (т.к. отрезки касательных равны).