Втреугольнике авс известны стороны ав=4, ас= √17 и вс=5. на стороне ав взята точка d такая, что ad=1. докажите, что cd и ав перпендикулярны

Доказательство может зависеть от того, чем можно пользоваться при доказательстве (например, тригонометрией, теоремой косинусов)))
в восьмом классе доказательство могло бы выглядеть так:
если получившийся треугольник DВС -- прямоугольный, то
должна выполняться т.Пифагора:
DC² = 5² - 3² = 25-9 = 4² ((египетский треугольник со сторонами 3-4-5)))
и с другой стороны
DC² = (√17)² - 1² = 17-1 = 4² -- противоречия не возникает ⇒
DC _|_ AB

в 9 классе можно использовать т.косинусов...
из треугольника ADC можно записать:
(√17)² = 1² + DC² - 2*DC*cos(ADC)
DC² = 16 + 2*DC*cos(ADC)
из треугольника BDC можно записать:
5² = 3² + DC² - 6*DC*cos(BDC)
DC² = 16 + 6*DC*cos(BDC) = 16 + 6*DC*cos(180 - АDC) = 
= 16 - 6*DC*cos(АDC)
и очевидно получается: 
16 + 2*DC*cos(ADC) = 16 - 6*DC*cos(АDC)
2*DC*cos(ADC) = -6*DC*cos(АDC) 
cos(ADC) = -3*cos(АDC) или cos(ADC) + 3*cos(АDC) = 0
4*cos(АDC) = 0 ⇒ cos(АDC) = 0
т.е. угол АDC = 90 градусов)))