Площадь треугольника образованной серединами медиан большого треугольника равна S. Чему равен площадь большого треугольника?

Объяснение:

SA₁B₁C₁=S

Медианы делят треугольник на 6 равновеликих треугольников с площадями SABC/6

тогда площади треугольников SOAB=SOAC=SOBC=(1/3)SABC так как каждый из них состоит из двух таких треугольников

и медианы в точке пересечения делятся в отношении 1:2

пусть точка О- точка пересечения медиан

тогда получается что

OA=(2/3)AA₂

AA₁=(1/2)AA₂

OA₁=(2/3)AA₂-(1/2)AA₂=(1/6)AA₂

OA₁/OA=(1/6)AA₂/(2/3)AA₂=1/4

аналогичным образом

OB₁/OB=1/4

OC₁/OC=1/4

тогда  треугольники OA₁B₁, OA₁C₁, OB₁C₁ подобны треугольникам OAB, OAC, OBC с коэффициентом подобия 1/4

отношения площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия то есть (1/4)²=1/16

SOA₁B₁=(1/16)SOAB  

SOA₁C₁=(1/16)SOAC

SOB₁C₁=(1/16)SOBC

сложим эти равенства

SOA₁B₁+SOA₁C₁+SOB₁C₁=(1/16)(SOAB+SOAC+SOBC)

SA₁B₁C₁=(1/16)SABC

SABC=16SA₁B₁C₁=16S

SABC=16S