Докажите, что трапеция является равнобедренной тогда и только тогда, когда ее средние линии взаимно перпендикулярны.

Доказательство во вложении   
__________________________

Рассмотрим трапецию, являющуюся равнобочной на рисунке слева, достроим ее до равнобедренного треугольника, средняя линия соединяющая соседние стороны параллельна основаниям трапеции, проведем высоту в равнобедренном треугольнике, как известно, высота в равнобедренном треугольнике является медианой, значит она поделит оба основания на две равные части, и будет являться средней линией соединяющей основания, исходя из свойств высоты равнобедренного треугольника, получаем что эти средние линии взаимо-перпендикулярны.
Теперь рассмотрим произвольную трапецию, на рисунке справа нарисованы возможные варианты произвольных трапеций, аналогично проводим средние линии, в случае когда у треугольника тупой угол, явно видно что является прямым доказательством утверждения, но рассмотрим треугольник с острыми углами, докажем что медиана не перпендикулярна средней линии трапеции:
Так как треугольник произвольный остроугольный, то медиана проведенная из вершины не совпадает с высотой, проведенной на рисунке, тогда получаем что только высота перпендикулярна средней линии трапеции, в то время как медиана делит ее в некотором отношении, в результате получаем что средняя линия соединяющая основания трапеции не перпендикулярна средней линии трапеции(так как не совпадает с высотой) что и требовалось доказать!