Войти Регистрация Спроси ai-bota

Найти площадь прямоугольного треугольника, если известно, что радиус вписанного в треугольник круга равен r, а описанного - r.

Ответ:

Semfore

01.10.2020 06:35

Прямоугольный треугольник с катетами а и b и гипотенузой с. По теореме Пифагора:
a^2+b^2=c^2

a^2+b^2=c^2

Зная, что гипотенуза равна двум радиусам описанной окружности, запишем:
$a^2+b^2=(2R)^2
\\\
a^2+b^2=4R^2$
Добавим к обеим частям неравенства слагаемое 2аb и преобразуем его в правой части:
$a^2+b^2+2ab=4R^2+ 2ab
\\\
a^2+b^2+2ab=4R^2+ \frac{4ab}{2}$
Так как площадь прямоугольного треугольник равна половине произведения его катетов, то:
$(a+b)^2=4R^2+4S \\\ a+b=2 \sqrt{ R^2+S}
$
Зная, что площадь треугольника равна половине произведения его периметр на радиус вписанной окружности, получим:
$S= \frac{a+b+c}{2}\cdot r$
Подставим вместо а+b и с известные выражения:
$S= \frac{2 \sqrt{ R^2+S}+2R}{2}\cdot r$
Выполняем преобразования:
$\frac{S}{r} = \sqrt{ R^2+S}+R \\\ \frac{S}{r} -R= \sqrt{ R^2+S} \\\$
Возведем обе части в квадрат:
$\frac{S^2}{r^2}- \frac{2SR}{r} +R^2 =R^2+S$
R² взаимно уничтожается, сокращаем на S:
$\frac{S}{r^2}- \frac{2R}{r} =1$
Домножаем на r:
$S-2Rr =r^2 \\\ \Rightarrow S=2Rr+r^2=r(2R+r)=r(D+r)$
Площадь прямоугольного треугольника равна сумме удвоенного произведения радиусов вписанной и описанной окружности и квадрата радиуса вписанной окружности. (Или: площадь прямоугольного треугольника равна произведению радиуса вписанной окружности на сумму его же с диаметром описанной окружности)
ответ: 2Rr+r²

0,0(0 оценок)

Ответ:

melisa2007

01.10.2020 06:35

Для решения данной задачи воспользуемся такой теоремой:

Центр окружности описанной около прямоугольного треугольника, делит гипотенузу пополам.

Тогда имеем прямоугольный треугольник со сторонами:

c=2R

Исходя из того что треугольник прямоугольный находим катеты:

a^2+b^2=c^2=4R^2

Так как площадь прямоугольного треугольника равна: $S=\frac{ab}{2}$

получаем ab=2S

тогда (a+b)^2=a^2+b^2+2ab=a^2+b^2+4S=4R^2+4S

Получаем:

$a+b=\sqrt{4R^2+4S}$

Зная, что площадь равна: $S=pr=\frac{(a+b+c)}{2}*r$

Получаем: $a+b+c=\frac{2S}{r}$

тогда получаем:

$a+b=\sqrt{4R^2+4S}$

Прибавим с обеих сторон:

$a+b+c=\sqrt{4R^2+4S}+c$

т.к c=2R Получаем:

$a+b+c=\sqrt{4R^2+4S}+2R$

так как $a+b+c=\frac{2S}{r}$

получаем:

$\sqrt{4R^2+4S}+2R=\frac{2S}{r}$

$\sqrt{4R^2+4S}=\frac{2S}{r}-2R$

$4R^2+4S=(\frac{2S}{r}-2R)^2$

$4R^2+4S=\frac{4S^2}{r^2}-\frac{8SR}{r}+4R^2$

$4S=\frac{4S^2}{r^2}-\frac{8SR}{r}$

Делим все на :

$1=\frac{S}{r^2}-\frac{2R}{r}$

r^2=S-2Rr

Откуда получаем:

S=r^2+2Rr

ответ: S=r^2+2Rr

0,0(0 оценок)

Популярные вопросы: Геометрия

kupmvik

12.06.2020 13:27

Найти пары равных треугольников и доказать Их равенство заранее...

Lora20060

26.04.2021 08:10

Решить, буду вам ! апофема правильный 4 угольник пирамиды= 2а ,высота пирамиды равна а √ 2 . найти 1) сторону основания пирамиды.2) угол между боковой гранью и основанием.3) площадь...

BamakoProfile

02.05.2020 02:51

Abcd-параллелограмм. точка е-середина dc. s(триугольникаabe)=65см в квадрате. найдите s(триугольникаade)+s(триугольника bce)...

Nadezda1997

02.05.2020 02:51

Периметры двух подобных треугольников 18 и 36. площадь одного из них 30. найти большую площадь с объяснением, если не...

УмнаяВыхухоль

02.05.2020 02:51

Впрямоугольном треугольнике из вершины прямого угла проведена высота. докажите что данный треугольник и 2 образовавшихся имеют соответственные углы...

Мосендз

02.05.2020 02:51

Хорда мn делит окружность радуса равного 8, на две неравные дуги. она видна из любой точки меньшей дуги под углом 120. какова дликахорды?...

Pozitivchik1234

02.05.2020 02:51

Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 3 см, а двугранный угол при стороне основания равен 45 градусов.найдите: а) площадь поверхности пирамиды ; б)расстояние от вершины...

krudnya

09.04.2020 17:58

Вравнобедренном треугольнике уголпри вершине рввен 42 градусам. найдите углы при основании...

helpme148

09.04.2020 17:58

Нужно решить 3 ! 1) дана окружность с центром о. в скольких точках пересекает её: 1. прямая оа; 2. луч оа; 3.отрезок оа, если а является внутренней точкой окружности? 2) может ли окружность...

redckast

09.04.2020 17:58

Решите 1)точка д лежит на основание вс равнобедренного треугольника авс.докажите,что отрезок ад меньше боковой стороны этого треугольника. с !...

Полный доступ

Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку