Из середины O отрезка AB проведем перпендикуляр OH к прямой a (См рис (в).). На прямой b от точки B отложим отрезок BH1, равный отрезку AH и проведем отрезок OH1. Треугольники OHA и OH1B равны по двум сторонам и углу между ними (AO=BO, AH=BH1, угол 1= угол 2), по этому угол 3 = угол 4 и угол 5 = угол 6. Из равенства угол 3 = угол 4 следует, что точка H1, лежит на продолжении луча ОН, т.е. точки Н, О и Н1 лежат на одной прямой, а из равенства угол 5 = угол 6 следует, что угол 6 - прямой. Итак прямые a и b парпендикулярны к прямой YY1, поэтому они параллельны. Теорема доказана.
Из середины O отрезка AB проведем перпендикуляр OH к прямой a (См рис (в).). На прямой b от точки B отложим отрезок BH1, равный отрезку AH и проведем отрезок OH1. Треугольники OHA и OH1B равны по двум сторонам и углу между ними (AO=BO, AH=BH1, угол 1= угол 2), по этому угол 3 = угол 4 и угол 5 = угол 6. Из равенства угол 3 = угол 4 следует, что точка H1, лежит на продолжении луча ОН, т.е. точки Н, О и Н1 лежат на одной прямой, а из равенства угол 5 = угол 6 следует, что угол 6 - прямой. Итак прямые a и b парпендикулярны к прямой YY1, поэтому они параллельны. Теорема доказана.