Доказать что сумма расстояний от любой точки, лежащей внутри треугольника, до его вершин больше полупериметра треугольника

Пусть О - произвольная точка внутри треугольника, х, у и z - расстояния от нее до вершин.

Из теоремы о неравенстве треугольника известно, что сумма двух любых сторон треугольника больше его третьей стороны.

Из каждого из трех образовавшихся треугольников получаем:

x + y >  a

x + z > b

y + z > c

Складываем левые и правые части неравенств:

2x + 2y + 2z > a + b + c

2(x + y + z) > a + b + c

x + y + z > (a + b + c)/2

x + y + z > Pabc/2