Впрямоугольный треугольник, периметр которого 36 см, вписана окружность. точка касания с окружностью делит гипотенузу в отношении 2: 3. найдите меньший катет треугольника
В любом треугольнике расстояние от вершины треугольника до точки касания вписанной окружности со стороной треугольника, выходящей из данной вершины, есть разность полупериметра треугольника и стороны, противолежащей данной вершине:
AK = AM = p – BC. => 3х =18 - (2x+r) => r = 18-5x.
Тогда по Пифагору: АВ² = АС² + ВС² => 25x² = (18-2x)² + (18-3x)² => 12x²+180x -648 = 0. Или
x²+15x -54 = 0. => x = 3. (второй корень отрицательный - не удовлетворяет условию).
Меньший катет треугольника равен 9см.
Объяснение:
В любом треугольнике расстояние от вершины треугольника до точки касания вписанной окружности со стороной треугольника, выходящей из данной вершины, есть разность полупериметра треугольника и стороны, противолежащей данной вершине:
AK = AM = p – BC. => 3х =18 - (2x+r) => r = 18-5x.
Тогда по Пифагору: АВ² = АС² + ВС² => 25x² = (18-2x)² + (18-3x)² => 12x²+180x -648 = 0. Или
x²+15x -54 = 0. => x = 3. (второй корень отрицательный - не удовлетворяет условию).
Тогда меньший катет ВС равен 18 - 3х = 9 см.