Чтобы найти координаты точки М (х, у), мы должны решить систему уравнений, основанную на данной информации. Пусть координаты точки М будут (х, у).
Из условия задачи, дано, что вектор АМ-6ВМ=0. Это означает, что сумма векторов АМ и -6ВМ равна нулевому вектору.
Сначала найдем вектор АМ. Для этого вычтем координаты точки А из координат точки М:
АМ = (х - 5, у - (-1)) = (х - 5, у + 1).
Затем найдем вектор ВМ. Для этого вычтем координаты точки М из координат точки В:
ВМ = (-2 - х, 9 - у) = (-2 - х, 9 - у).
Теперь сложим векторы АМ и -6ВМ и приравняем их к нулевому вектору:
АМ + (-6ВМ) = 0.
Это значит, что каждая компонента вектора АМ должна быть равна соответствующей компоненте вектора -6ВМ. Подставим значения в уравнение:
(х - 5, у + 1) + (-6(-2 - х), -6(9 - у)) = (0, 0).
Из условия задачи, дано, что вектор АМ-6ВМ=0. Это означает, что сумма векторов АМ и -6ВМ равна нулевому вектору.
Сначала найдем вектор АМ. Для этого вычтем координаты точки А из координат точки М:
АМ = (х - 5, у - (-1)) = (х - 5, у + 1).
Затем найдем вектор ВМ. Для этого вычтем координаты точки М из координат точки В:
ВМ = (-2 - х, 9 - у) = (-2 - х, 9 - у).
Теперь сложим векторы АМ и -6ВМ и приравняем их к нулевому вектору:
АМ + (-6ВМ) = 0.
Это значит, что каждая компонента вектора АМ должна быть равна соответствующей компоненте вектора -6ВМ. Подставим значения в уравнение:
(х - 5, у + 1) + (-6(-2 - х), -6(9 - у)) = (0, 0).
Упростим уравнение:
(х - 5, у + 1) + (12 + 6х, -54 + 6у) = (0, 0).
Теперь сложим компоненты по отдельности:
х - 5 + 12 + 6х = 0,
у + 1 - 54 + 6у = 0.
Сложим х и 6х, а также у и 6у:
7х + 7 = 0,
7у - 53 = 0.
Разделим оба уравнения на 7:
х + 1 = 0,
у - 53/7 = 0.
Выразим х и у:
х = -1,
у = 53/7.
Таким образом, координаты точки М равны (х, у) = (-1, 53/7).