1) диагональ d осевого сечения цилиндра наклонена к плоскости основания под углом a . вычислите обьем цилиндра 2)прямоугольный треульник с катетом а и прилежащим углом а вращается вокруг гипотенузы.найдите обьем фигуры вращения
1. Осевое сечение цилиндра - прямоугольник, одна сторона которого равна высоте цилиндра, другая - диаметру основания. Из прямоугольного треугольника АВС: H = d · sinα 2R = d · cosα, ⇒ R = d/2 · cosα. V = πR²H = π · d²/4 · cos²α · d · sinα = πd³ · sinα · cos²α / 4
2. При вращении прямоугольного треугольника вокруг гипотенузы образуются два конуса с общим основанием, радиус которого равен высоте треугольника, опущенной на гипотенузу. ΔАСН: R = a·sinα h₁ = a·cosα По свойству высоты прямоугольного треугольника, ∠ВСН = ∠САН = α. ΔВСН: h₂ = R·tgα = a·sinα · tgα = a · sin²α / cosα V₁ = 1/3 · πR²h₁ V₂ = 1/3 · πR²h₂ V = V₁ + V₂ = 1/3 · πR² (h₁ + h₂) V = 1/3 · π · a²·sin²α (a·cosα + a·sin²α/cosα) V = 1/3 · π · a³·sin²α ((cos²α + sin²α) / cosα) V = πa³·sin²α / (3cosα)
Из прямоугольного треугольника АВС:
H = d · sinα
2R = d · cosα, ⇒ R = d/2 · cosα.
V = πR²H = π · d²/4 · cos²α · d · sinα = πd³ · sinα · cos²α / 4
2.
При вращении прямоугольного треугольника вокруг гипотенузы образуются два конуса с общим основанием, радиус которого равен высоте треугольника, опущенной на гипотенузу.
ΔАСН: R = a·sinα
h₁ = a·cosα
По свойству высоты прямоугольного треугольника, ∠ВСН = ∠САН = α.
ΔВСН: h₂ = R·tgα = a·sinα · tgα = a · sin²α / cosα
V₁ = 1/3 · πR²h₁
V₂ = 1/3 · πR²h₂
V = V₁ + V₂ = 1/3 · πR² (h₁ + h₂)
V = 1/3 · π · a²·sin²α (a·cosα + a·sin²α/cosα)
V = 1/3 · π · a³·sin²α ((cos²α + sin²α) / cosα)
V = πa³·sin²α / (3cosα)