З точки А до кола з центром О проведено дотичні АМ і AN (M I
N – точки дотику). К - точка перетину відрізків MN iAO.
Знайдіть АК і КО, якщо ОМ = 8см ∟MON =1200

Відповідь:  60°.

Пояснення:Дано: коло з центром в точці О. AM i АК - дотичні (А поза колом).

М і К - точки дотику. ОА - перетинає коло в точці N. N - середина ОА.

Знайти: ∟MAK.

Розв'язання:

Виконаємо додаткові побудови: ОМ i ОК - радіуси.

За властивістю дотичних до кола маємо:

ОМ ┴ МА; ОК ┴ АК та МА = АК.

Розглянемо ∆ОМА та ∆ОКА - прямокутні.

ОА - спільна сторона; ОМ = ОК - радіуси.

За ознакою piвностi прямокутних трикутників маємо: ∆ОМА = ∆ОКА,

звідси маємо: ∟MAO = ∟KAO.

За аксіомою вимірювання кутів маємо ∟MAK = ∟MAO + ∟KAO = 2∟MAO.

Розглянемо ∆ОМА - прямокутний.

∟OMA = 90°; ОМ = ON = R; N - середина ОА; якщо ON = NA i ON = R, тоді ОА = 2R.

За властивістю катета, який лежить навпроти кута 30°, маємо, якщо ОМ = R

та ОА = 2R, тоді ∟MAO = 30°. Звідси маємо ∟MAK = 30° • 2 = 60°.

Biдповідь: 60°.