1. Периметр треугольника АВС, описанного около окружности равен 52 см. Точка касания со стороной АВ делит эту сторону в отношении 2:3, считая от вершины А. Точка касания со стороной ВС удалена от вершины С на 6 см. Найдите стороны треугольника.
2. В треугольник с углами 30, 70 и 80 градусов вписана окружность. Найдите углы треугольника, вершинами которого являются точки касания вписанной окружности со сторонами данного треугольника.
3. В прямоугольном треугольнике АВС точка касания вписанной окружности делит гипотенузу на отрезки 4 см и 21 см. Найдите радиус окружности если периметр равен 56 см
1.
(рис.1)
Обозначим x = AD
AF = AD = x
CF = EC = 6
BE = BD = 1,5x
AB = AD + DB = x + 1,5x = 2,5x
BC = BE + EC = 1,5x + 6
AC = AF + FC = x + 6
P = AB + BC + AC = 2,5x + 1,5x + 6 + x + 6 = 5x + 12
5x + 12 = 52
5x = 40
x = 8
AB = 20 см
BC = 18 см
AC = 14 см
2.
(рис.1)
под трёхбуквенными обозначениями подразумевается угол
EDF = EDO + ODF = 90º - EDB + 90º - ADF
EDB = (180º - ABC)/2
ADF = (180º - BAC)/2
после преобразования получим
EDF = (ABC + BAC)/2
по аналогии
DEF = (ABC + ACB)/2
EFD = (BAC + ACB)/2
отсюда получаем углы 55º, 75º, 50º
3.
(рис.2)
P = r + r + 4 + 4 + 21 + 21 = 56
2r + 50 = 56
2r = 6
r = 3 см
Объяснение: