HELP НЕ СДЕЛАЮ УБЬЮТ! В прямоугольный ΔABC (∠C = 90º, ∠A = 60º) вписано ромб AMNK так, что угол A у них общий, а все остальные вершины ромба лежат на сторонах треугольника. Найдите площадь ромба (в см2), если площадь треугольника доривнюесм2.
Так как АК║MN , то ΔMNB - прямоугольный и ∠MNB=90° ,
∠NMB=∠A=60° (как соответственные углы ) ⇒ ∠MBN=90°-60°=30°
Катет, лежащий против угла в 30° : MN=0,5*ВМ ⇒ ВМ=2*MN=2а .
BN=√((2a)²-a²)=a√3
ΔKNC: ∠KNC=∠CNM-∠KNM=90°-60°=30° , так как ∠KNM=∠A как противоположные углы ромба. Этот факт можно вывести из того , что ΔKNC подобен ΔАВС ( т.к. АВ║KN ).
Катет КС лежит против угла в 30°, значит равен половине гипотенузы KN=a ⇒ КС=а/2 . Катет CN=√(a²-(a²/4))=a√3/2 .
ΔАВС - прямоугольный треугольник , ∠С=90° , ∠А=60° , S(АВС)=18√3 .
AMNK - ромб ⇒ АК║MN , AM║KN , обозначим AK=MN=AM=KN=a .
Так как АК║MN , то ΔMNB - прямоугольный и ∠MNB=90° ,
∠NMB=∠A=60° (как соответственные углы ) ⇒ ∠MBN=90°-60°=30°
Катет, лежащий против угла в 30° : MN=0,5*ВМ ⇒ ВМ=2*MN=2а .
BN=√((2a)²-a²)=a√3
ΔKNC: ∠KNC=∠CNM-∠KNM=90°-60°=30° , так как ∠KNM=∠A как противоположные углы ромба. Этот факт можно вывести из того , что ΔKNC подобен ΔАВС ( т.к. АВ║KN ).
Катет КС лежит против угла в 30°, значит равен половине гипотенузы KN=a ⇒ КС=а/2 . Катет CN=√(a²-(a²/4))=a√3/2 .
ВС=BN+CN=(a√3/2)+a√3=(3a√3)/2 .
AC=AK+CK=a+(a/2)=3a/2 .
S(АВС)=1/2*АС*ВС=1/2*3а/2*(3а√3/2)=(9√3а²)/8
(9√3a²)/8=18√3 ⇒ a²=144/9 , a=12/3=4 .
S(ромба)=а²*sin60°=a²*√3/2=(144/9)*(√3/2)=8√3 .