Треугольник ABC остроугольный. Высоты A и B дает пересечение H, образуя угол AHB = 114. Пересечение биссектрис BC образует K, образуя угол BKC= 130. Найдите градусы всех углов

 Треугольник ABC остроугольный. Высоты, проведенные  из вершин A и B, пересекаются в точке H, образуя угол AHB = 114°. Биссектрисы углов B и C пересекаются в т. K, образуя угол BKC= 130°. Найдите градусную меру всех углов треугольника АВС.

Решение.

 1) В ∆ ВКС ∠КВС+ ∠КСВ=180°-130°=50° (из суммы углов треугольника)

∠КВС= 0,5 ∠АВС;

∠КСВ=0,5 угла КСВ ⇒ их сумма равна 0,5•(∠АВС+∠АСВ) ⇒

∠АВС+∠АСВ=2•50°=100°. Тогда ∠ВАС=180°-100°=80°

2) Обозначим высоты ВТ и АМ.

Сумма острых углов прямоугольного треугольника 90°.

В ⊿  АВТ ∠АВТ=90°-угол А=90°-80°=10°

В ⊿  ВНМ ∠ВНМ=180°-114°=66° ( смежный угу МНТ) ⇒

∠НВМ=90°-66°=24° ⇒

∠АВС=∠АВТ+∠НВМ=10°+24°=34° ⇒

∠ВСА=180°-∠А-∠В=180°-80°-34°=66°