Решить : окружность с центром i, вписанная в треугольник авс, касается сторон ав и вс в точках с0 и а0 соответственно. окружность, проходящая через точки в и i, пересекает стороны ав и вс в точках x и y. докажите, что середина отрезка xy лежит на прямой а0с0.
рисунок:

Из точки описанной окружности на прямые сторон треугольника опущены перпендикуляры. Основания перпендикуляров лежат на прямой Симсона.  

Точка I лежит на биссектрисе угла B, следовательно делит дугу XY пополам. Пусть Bo - середина хорды XY. Тогда IBo - серединный перпендикуляр к XY (хорды IX и IY равны, стягивают равные дуги).

I - точка на окружности, описанной около треугольника XBY. IAo, IBo, ICo - перпендикуляры, опущенные на стороны треугольника XBY. Основания перпендикуляров Ao, Bo, Co лежат на прямой Симсона.