Прямая (x-3)/2=(y+2)/4=z/1 и точка m(2; -1; 2). найти уравнение плоскости (без построений).

Даны прямая (x-3)/2=(y+2)/4=z/1 и точка M(2;-1;2).

M1(3;-2;0) -уже заданная точка по условию задачи, которая принадлежит прямой  .

Вектор ММ1{3-2;(-2)-(-1);0-2}={1;-1;-2}

q1{2;4;1} - направляющий вектор прямой   (по условию задачи)

Векторы {x-3;y+2;z}, МM1, q1 - компланарны. Поэтому для них можно записать

x - 3      y + 2         z                   (x - 3)*(-1) + (y + 2)*(-4) + z*4 +

  1           -1           -2                + (y + 2)*(-1) + (x - 3)*8 + z*2 =

  2           4           1   =  0.        = 7x - 21 - 5y - 10 + 6z.

Раскрыв определитель системы, приходим к уравнению

7x - 5y+ 6z - 31 = 0.

Это и будет искомое уравнение плоскости, которая проходит через точку M и прямую.